Rotations in 3D space using Euler angles

ကိရိယာ တစ်ခုရဲ့ body reference frame နဲ့ world reference frame ရဲ့ ဆက်သွယ်မှု ကို ရှာဖို့အတွက် Euler angle sequence တစ်ခုကို သုံးပြီး သရီးဒီ စပေ့ ထဲမှာ rotation လုပ်တဲ့ အကြောင်း ပြောချင်ပါတယ်။ အွိုင်လာ တင်ပြခဲ့တဲ့ သီအိုရမ်တစ်ခု မှာ ပြောထားတာက အောက်ပါအတိုင်း ဖြစ်ပါတယ်။
Any two independent orthonormal coordinate frames can be related by a sequence of rotations (not more than three) about coordinate axes, where no two successive rotations may be about the same axis.
{M} နဲ့ ကိုယ်စားပြု ခေါ်မယ့် world reference frame နဲ့ {B} နဲ့ ကိုယ်စားပြုမယ့် body reference frame တို့ကို အောက်မှာ ပုံနဲ့ နမူနာ ပြထားပါတယ်။

Pan angle rotation ကို α လို့ ခေါ်မှာ ဖြစ်ပြီး သူ့ကို computer vision ကနေ ရနိုင်ပါတယ်။ နောက် tilt angle rotation - β နဲ့ roll angle rotation - γ တို့ကိုတော့ ကိရိယာ ထဲမှာ တပ်ထားမယ့် accelerometers တွေကနေ မြေဆွဲအား (gravity- g ) ကို အာရုံခံ ပြီး သိရှိနိုင်ပါတယ်။ အရင်ဆုံး pan and tilt မရှိဘူး လို့ ယာယီ ယူဆပြီး roll angle ကို စဉ်းစားကြည့်ပါမယ်။ γ က သုည ဖြစ်နေချိန်မှာ Y ဝင်ရိုးက အထက်ကို ညွှန်ပြီး၊ X ဝင်ရိုးက right handed rule အတိုင်း ရေပြင်ညီ ရှိမယ်လို့ သတ်မှတ် ပါမယ်။ X ဝင်ရိုး accelerometer နဲ့ Y ဝင်ရိုး accelerometer တို့က မြေဆွဲအားကို အာရုံခံ တိုင်းလို့ရတဲ့ တန်ဖိုးတွေကို gx နဲ့ gy လို့ခေါ်ပါမယ်။ roll angle ကို သတ်မှတ် ထားပုံကို အောက် က ပုံမှာ ဖော်ပြထားပါတယ်။

Roll angle - γ ကို အောက်က ညီမျှခြင်း ကိုသုံးပြီး တွက်ယူလို့ ရပါတယ်။

$$ \gamma = \tan^{-1}\frac{gx}{gy} $$

နောက် second နဲ့ third quadrants တွေ မှာ ရှိမရှိကို ပြန်စစ်ပါမယ်။

if(gy<0)
  if(gx>=0)
    γ=π+γ;
  else
    γ=-π+γ;
  end
end

ဒါဆို roll angle rotation matrix - R_γ ကို အောက်က အတိုင်းရနိုင်ပါတယ်။

$$ \mathbf{R}_{\gamma}= \begin{bmatrix} \cos(\gamma) & -\sin(\gamma) & 0 \\ \sin(\gamma) & \cos(\gamma) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Roll angle ကို ပြင်ပြီးတဲ့နောက် tilt angle ကိုဆက်စဉ်းစားပါမယ်။ Tilt angle ရဲ့ သတ်မှတ်ပုံ ကို အောက်မှာ ပြထားပါတယ်။

Tilt angle - β ကို Y နဲ့ Z မြေဆွဲအား တိုင်းတာမှုတွေ ကနေ တွက်လို့ရပါတယ်။ သတိထား ဖို့ လိုတာကတော့ အဲဒီတန်ဖိုးတွေက roll angle ပြင်ထားတဲ့ တန်ဖိုးတွေ ဖြစ်ရပါမယ်။ ပြောင်းသွားတဲ့ Y နဲ့ Z မြေဆွဲအား တိုင်းတာမှုတွေ ကို အောက်ပါအတိုင်း တွက်ယူနိုင်ပါတယ်။

$$ \begin{bmatrix} gx2 \\ gy2 \\ gz2 \end{bmatrix} = \mathbf{R}_{\gamma} \begin{bmatrix} gx \\ gy \\ gz \end{bmatrix} $$

ဒါဆို β ကို အောက်ပါ ညီမျှခြင်း ကနေရှာလို့ ရပါပြီ။

$$ \beta = \tan^{-1}\frac{gy2}{gz2} $$.

နောက် second and third quadrants တွေ အတွက် စစ်ပါမယ်။

if(gz2>=0)
  if(gy2>=0)
    β=-π+β;
  else
    β=π+β;
  end
end

အဲဒီအခါ Tilt angle rotation matrix -R_β က အောက်ပါအတိုင်းရလာပါမယ်။

$$ \mathbf{R}_{\beta}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos(\gamma) & -\sin(\gamma) \\ 0 & \sin(\gamma) & \cos(\gamma) \end{bmatrix}$$

အဲဒီလိုပါပဲ၊ pan angle rotation matrix - R_α နဲ့ pan angle ရဲ့ သတ်မှတ်ပုံတွေ ကိုလည်း အောက်ပါအတိုင်း တွေနိုင်ပါတယ်။

$$ \mathbf{R}_{\alpha}= \begin{bmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

အဲဒီ rotation matrices တွေရဲ့ မြှောက်လဒ် က rotation matrix တစ်ခု ပါပဲ။ $$ \mathbf{R}=\mathbf{R}_{\alpha} \mathbf{R}_{\beta} \mathbf{R}_{\gamma}$$
အဲဒီအခါ အောက်ပါအတိုင်း ရရှိလာမှာပါ။
M=RB

R က rotation matrix တစ်ခု ဖြစ်တာမို့ သူ့ရဲ့ inverse ကို ရှာဖို့ လိုခဲ့ရင် အဲဒါက R transpose နဲ့ အတူတူပါပဲ။ ဒီ 3D rotation ကို LabVIEW မှာ MabLab code သုံးပြီး လုပ်ထားတာကို အောက်ကပုံမှာ မြင်နိုင်ပါတယ်။

အခုလို 3D transformation တွေအတွက် Quaternion algebra ကလည်း လွယ်ကူပြီး ခေတ်စားနဲ့ နည်းတစ်နည်း ပါပဲ။

Reference:
Kuipers, Jack B., Quaternions and rotation sequences : a primer with applications to orbits, aerospace, and virtual reality, Princeton University Press, 1999, ISBN: 0691058725.